Question

18．若對于任意的實數(shù)$x∈（{0，\frac{1}{2}}]$，都有2^-2x-log_ax＜0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是$\frac{1}{4}$＜a＜1．

Answer 1

分析 由題意可得，$x∈（{0，\frac{1}{2}}]$時，函數(shù)y=2^-2x的圖象在函數(shù)y=log_ax的圖象的下方，可得0＜a＜1．再根據(jù)它們的單調(diào)性可得$\frac{1}{2}$＜log_a$\frac{1}{2}$，解此對數(shù)不等式求得a的范圍

解答 解：若對于任意的實數(shù)$x∈（{0，\frac{1}{2}}]$，都有2^-2x-log_ax＜0恒成立，
即對于任意的實數(shù)$x∈（{0，\frac{1}{2}}]$，都有l(wèi)og_ax＞2^-2x恒成立，
則y=log_ax的圖象恒在y=${（\frac{1}{4}）}^{x}$圖象的上方，
∴0＜a＜1．
再根據(jù)它們的單調(diào)性可得$\frac{1}{2}$＜log_a$\frac{1}{2}$，
即$\sqrt{a}$＞$\frac{1}{2}$，
∴a＞$\frac{1}{4}$，
綜上可得，$\frac{1}{4}$＜a＜1，
故答案為：$\frac{1}{4}$＜a＜1

點評 本題主要考查對數(shù)不等式的解法，同時考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．