Question

8．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P為雙曲線C上一點(diǎn)，Q為雙曲線C漸近線上一點(diǎn)，P、Q均位于第一象限，且$\overrightarrow{QP}$=$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$•$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=0，則雙曲線C的離心率為$\sqrt{5}-1$．

Answer 1

分析 利用已知條件求出Q坐標(biāo)，求出P的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，即可求解雙曲線的離心率．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P為雙曲線C上一點(diǎn)，Q為雙曲線C漸近線上一點(diǎn)，P、Q均位于第一象限，且$\overrightarrow{QP}$=$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$•$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=0，
可知P是Q，F(xiàn)₂的中點(diǎn)，$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$，
Q在直線bx-ay=0上，并且|OP|=c，則Q（a，b），則P（$\frac{a+c}{2}$，$\frac{2}$），
代入雙曲線方程可得：$\frac{（a+c）^{2}}{4{a}^{2}}-\frac{1}{4}=1$，
1+e=$\sqrt{5}$．
可得e=$\sqrt{5}$-1．
故答案為：$\sqrt{5}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．