精英家教網(wǎng)如圖,ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為6的正方體,E、F分別是棱AB、BC上的動(dòng)點(diǎn),且AE=BF.
(1)求證:A1F⊥C1E;
(2)當(dāng)A1、E、F、C1共面時(shí),求:
①D1到直線(xiàn)C1E的距離;
②面A1DE與面C1DF所成二面角的余弦值.
分析:(1)以D為原點(diǎn),DA、DC、DD1所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,我們易給出正方體中各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求出向量
A1F
C1F
坐標(biāo),代入向量數(shù)量積公式,易得
A1F
C1F
=0
,即A1F⊥C1E;
(2)①在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB∥C1D1,則△BC1D1與△EC1D1面積相待,故D1到直線(xiàn)C1E的距離h滿(mǎn)足
C1E×h
2
=
C1D1×BC1
2
,代入即可得到答案;
②我們求出面A1DE與面C1DF的法向量,求出兩個(gè)向量夾角的余弦的絕對(duì)值,即可得到答案.
解答:解:(1)以D為原點(diǎn),DA、DC、DD1所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則A1(6,0,6)、C1(0,6,6),設(shè)AE=m,則E(6,m,0),F(xiàn)(6-m,6,0),
從而
A1F
=(-m , 6 , -6)
、
C1E
=(6 , m-6 , -6)
,
A1F
C1F
=0
,
所以A1F⊥C1E(4分).
(2)①當(dāng)A1、E、F、C1共面時(shí),
因?yàn)榈酌鍭BCD∥A1B1C1D1,
所以A1C1∥EF,
所以EF∥AC,
從而E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)(7分),
設(shè)D1到直線(xiàn)C1E的距離為h,
在△C1D1E中,C1E=
62+62+32
=9

C1E×h
2
=
C1D1×BC1
2
,
解得h=4
2
(7分).
②由①得,E(6,3,0)、F(3,6,0),
設(shè)平面A1DE的一個(gè)法向量為
n1
=(a , b , c)
,
依題意
n1
DE
=6a+3b=0
n1
DA1
=6a+6c=0
,
所以
n1
=(-1 , 2 , 1)

同理平面C1DF的一個(gè)法向量為
n2
=(2 , -1 , 1)
,
由圖知,面A1DE與面C1DF所成二面角的余弦值
cosθ=
|
n1
n2
|
|
n1
|•|
n2
|
=
1
2
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量語(yǔ)言表述線(xiàn)線(xiàn)的垂直、平行關(guān)系,點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算、用空間向量求平面間的夾角,其中建立空間坐標(biāo)系,將總是轉(zhuǎn)化為一個(gè)向量計(jì)算問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,ABCD-A1B1C1D1為正方體,下面結(jié)論中正確的是
①②④
①②④
.(把你認(rèn)為正確的結(jié)論都填上)
①BD∥平面CB1D1;
②AC1⊥平面CB1D1;
③AC1與底面ABCD所成角的正切值是
2

④二面角C-B1D1-C1的正切值是
2
;
⑤過(guò)點(diǎn)A1與異面直線(xiàn)AD與CB1成70°角的直線(xiàn)有2條.

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①②
①②
.(把你認(rèn)為正確的結(jié)論都填上)
①BD∥平面CB1D1;
②AC1⊥平面CB1D1
③過(guò)點(diǎn)A1與異面直線(xiàn)AD和CB1成90°角的直線(xiàn)有2條.

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A.A、M、O三點(diǎn)共線(xiàn)                      B.A、M、O、A1四點(diǎn)共面

C.A、O、C、M四點(diǎn)共面                 D.B、B1、O、M四點(diǎn)共面

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