Question

4．在如圖所示的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AC=1，BC=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{3}$，側(cè)棱AA₁=1，點D，M分別為A₁B，B₁C₁的中點．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面A₁BM；
（Ⅱ）求三棱錐M-A₁BC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明CD⊥平面A₁BM；
（Ⅱ）根據(jù)條件求出三棱錐的高，結(jié)合三棱錐的體積公式即可求三棱錐M-A₁BC的體積．

解答 解：（Ⅰ）∵AC=1，$BC=\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{3}$，滿足AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∴CC₁⊥BC，
又∵AC∩CC₁=C，
∴BC⊥面ACC₁．
∵A₁C?面ACC₁，∴BC⊥A₁C．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
∴AA₁⊥AC，∴${A_1}C=\sqrt{2}$，
又∵$BC=\sqrt{2}$，∴CD⊥A₁B，且$CD=\frac{1}{2}\sqrt{{A_1}{C^2}+B{C^2}}=1$．…（2分）
連結(jié)MD．                                             …（1分）
∵${A_1}M=BM=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，點D為A₁B的中點，
∴MD⊥A₁B，且$MD=\sqrt{{A_1}{M^2}-{A_1}{D^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（3分）
又$CM=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，則CM²=CD²+MD²，∴CD⊥MD．…（4分）
又A₁B?面A₁BM，MD?面A₁BM，CD∩MD=D，
∴CD⊥面A₁BM，…（6分）
（Ⅱ）連結(jié)MD，由（Ⅰ）知CD⊥面A₁BM，故${V_{M-{A_1}BC}}={V_{C-{A_1}BM}}$．…（8分）
∵${A_1}B=\sqrt{{A_1}B_1^2+BB_1^2}=2$，…（9分）
∴${V_{M-{A_1}BC}}={V_{C-{A_1}BM}}=\frac{1}{3}•{S_{△{A_1}BM}}•CD=\frac{1}{3}•（\frac{1}{2}•2•\frac{{\sqrt{2}}}{2}）•1=\frac{{\sqrt{2}}}{6}$．…（12分）

點評 本題主要考查空間直線和平面垂直的判斷以及三棱錐體積的計算，根據(jù)相應(yīng)的判定定理以及三棱錐的體積公式是解決本題的關(guān)鍵．