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已知向量
a
、
b
滿足：|
a
|=|
b
|=1，且|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|，其中k＞0．
（1）用k表示
a
•
b
；
（2）當
a
•
b
最小時，求
a
與
b
的夾角θ的大�。�
分析：（1）根據向量模的公式與數量積的運算性質化簡已知等式，結合|
a
|=|
b
|=1算出k2+2k
a
•
b
+1=3(1-2k
a
•
b
+k2），化簡即得用k表示
a
•
b
的式子；
（2）由基本不等式，算出
a
•
b
=
1
4
(k+
1
k
)≥
1
2
，可得當k=1時，
a
•
b
的最小值為
1
2
，由此利用向量的夾角公式加以計算，即可得到
a
與
b
的夾角θ的大�。�
解答：解：（1）∵|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|，
∴(k
a
+
b
)2=3(
a
-k
b
)2，
可得k2|
a
|2+2k
a
•
b
+|
b
|2=3(|
a
|2-2k
a
•
b
+k2|
b
|2)
∵|
a
|=|
b
|=1，
∴|
a
|2=|
b
|2=1，
∴k2+2k
a
•
b
+1=3(1-2k
a
•
b
+k2)，
解得
a
•
b
=
k2+1
4k
；
（2）∵
a
•
b
=
k2+1
4k
=
1
4
(k+
1
k
)≥
1
4
×2
k•
1
k
=
1
2
，（當且僅當k=
1
k
=1時，等號成立）．
∴當k=1時，
a
•
b
的最小值為
1
2
，
此時
a
•
b
=|
a
|•|
b
|•cosθ=
1
2
，
將|
a
|=|
b
|=1代入得cosθ=
1
2
，
∵θ∈（0，π），
∴θ=
π
3
，即為
a
與
b
的夾角的大�。�
點評：本題給出單位向量
a
、
b
滿足的條件，求
a
•
b
的最小值并求相應的夾角大小．著重考查了平面向量數量積的運算性質、向量模的公式、基本不等式和夾角大小的求法等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
，
b
滿足|
a
+
b
|=
3
|
a
-
b
|，|
a
|=|
b
|=1，則|
3a
-2
b
|的值為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
，
b
滿足|
a
|=2，|
b
|=1，
a
與
b
的夾角為60°，則|
a
-2
b
|等于
2
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
，
b
滿足|
a
|=
2
，|
b
|=3，
a
與
b
的夾角為45°，求|3
a
-
b
|的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量a，b滿足|a|=2，|b|=3，|2a+b|=
37
，則a與b的夾角為（　�。�
A、30°B、45°
C、60°D、90°

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•浙江模擬）已知向量
a
，
b
滿足|
a
|=2|
b
|≠0，且關于x的函數f（x）=2x3+3|
a
|x2+6
a
•
b
x+5 在實數集R上單調遞增，則向量
a
，
b
的夾角的取值范圍是（　�。�

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