Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點為F₁，F(xiàn)₂，離心率為

2

2

，以線段F₁ F₂為直徑的圓的面積為π，設(shè)直線l過橢圓的右焦點F₂（l不垂直坐標(biāo)軸），且與橢圓交于A、B兩點，
（1）求橢圓的方程；
（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點M（m，0），試求m的取值范圍；
（3）求△ABF₁面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)離心率為

2

2

，以線段F₁ F₂為直徑的圓的面積為π，可求得a=

2

，c=1，從而b²=1，故可求橢圓方程；
（2）設(shè)出直線l的方程代入橢圓方程，從而求出線段AB的垂直平分線方程，令y=0，可得m的函數(shù)關(guān)系式，進而可求m的取值范圍；
（3）利用韋達定理，表示出S_△ABF1=

1

2

×2×|y₁-y₂|，即可求得△ABF₁面積的取值范圍．

解答：解：（1）由離心率為

2

2

得：

c

a

=

2

2

①
又由線段F₁ F₂為直徑的圓的面積為π得：πc²=π，c²=1       ②
由①，②解得a=

2

，c=1，∴b²=1，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1
（2）由題意，F(xiàn)₂（1，0），設(shè)l的方程為：y=k（x-1）（k≠0），代入橢圓方程
整理得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點為（x₀，y₀），則
x₀=

2k2

2k2+1

，y₀=k（x₀-1）=-

2k

2k2+1

∴線段AB的垂直平分線方程為y-y₀=-

1

k

（x-x₀）
令y=0，得m=x₀+ky₀=

k2

2k2+1

=

1

2+ 1 k2

由于

1

k2

＞0即2+

1

k2

＞2，
∴0＜m＜

1

2

；
（3）由（2）知，x₁+x₂=

4k2

2k2+1

，x₁x₂=

2k2-2

2k2+1

∴|x₁-x₂|=

2 2k2+2

2k2+1

∴|y₁-y₂|=

2|k| 2k2+2

2k2+1

∴S_△ABF1=

1

2

×2×|y₁-y₂|=

2|k| 2k2+2

2k2+1

設(shè)2k²+1=t，則t＞1，∴S_△ABF1=

2

×

1- 1 t2

∵t＞1，∴0＜

1

t2

＜1，∴0＜S△ABF1＜

2

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是確定線段AB的垂直平分線方程，屬于中檔題．