Question

3．為了了解我校高2017級本部和大學城校區(qū)的學生是否愿意參加自主招生培訓的情況，對全年級2000名高三學生進行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計結(jié)果如表：

校區(qū)	愿意參加	不愿意參加
重慶一中本部校區(qū)	220	980
重慶一中大學城校區(qū)	80	720

（1）若從愿意參加自主招生培訓的同學中按分層抽樣的方法抽取15人，則大學城校區(qū)應抽取幾人；
（2）現(xiàn)對愿意參加自主招生的同學組織摸底考試，考試題共有5道題，每題20分，對于這5道題，考生“如花姐”完全會答的有3題，不完全會的有2道，不完全會的每道題她得分S的概率滿足：P（S=6k）=$\frac{4-k}{6}$，k=1，2，3，假設解答各題之間沒有影響，
①對于一道不完全會的題，求“如花姐”得分的均值E（S）；
②試求“如花姐”在本次摸底考試中總得分的數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）按分層抽樣的方法即可得出．
（2）①由題知：對一道不完全會的題，“如花姐”得分的分布列為$P（{S=6k}）=\frac{4-k}{6}\;\;，\;\;k=1\;\;，\;\;2\;\;，\;\;3$，可得分布列與數(shù)學期望．
②法一：記ξ為“如花姐”做兩道不完全會的題的得分總和，則ξ=12，18，24，30，36．分別計算其概率，即可得出“如花姐”最后得分的期望值為20×3+E（ξ）．
法二：“如花姐”最后得分的期望值為20×3+2E（S）．

解答 解：（1）大學城校區(qū)應抽取$15×\frac{80}{220+80}=4$人．
（2）①由題知：對一道不完全會的題，“如花姐”得分的分布列為$P（{S=6k}）=\frac{4-k}{6}\;\;，\;\;k=1\;\;，\;\;2\;\;，\;\;3$，即；

S	6	12	18
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$

∴對于每一道不完全會的題，“如花姐”得分的期望為$E（S）=6×\frac{1}{2}+12×\frac{1}{3}+18×\frac{1}{6}=10$．
②法一：記ξ為“如花姐”做兩道不完全會的題的得分總和，則ξ=12，18，24，30，36.$P（{ξ=12}）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}；P（{ξ=18}）=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×2=\frac{1}{3}；P（{ξ=24}）=\frac{1}{2}×\frac{1}{6}×2+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{5}{18}$；$P（{ξ=30}）=\frac{1}{3}×\frac{1}{6}×2=\frac{1}{9}；P（{ξ=36}）=\frac{1}{6}×\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$；
∴$E（ξ）=12×\frac{1}{4}+18×\frac{1}{3}+24×\frac{5}{18}+30×\frac{1}{9}+36×\frac{1}{36}=20$．
∴“如花姐”最后得分的期望值為20×3+E（ξ）=80．
法二：“如花姐”最后得分的期望值為20×3+2E（S）=80．

點評 本題考查了分層抽樣、概率計算公式、隨機變量的分布列與數(shù)學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．