研究一下，是否存在一個(gè)三角形具有以下性質(zhì)：

(1)三邊是連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)；

(2)最大角是最小角的2倍．

答案：略
解析：

設(shè)三角形三邊長分別是，n，，三個(gè)角分別是，，．由正弦定理，

，

所以，

．

由余弦定理，

，

即

．

化簡，得

，

所以，n＝0，或n＝5．n＝0不合題意，舍去．n＝5．三角形的三邊分別是4，5，6．可以驗(yàn)證此三角形的最大角是最小角的2倍．

　　另解：先考慮三角形所具有的第一個(gè)性質(zhì)：三邊是連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)．

　　(1)三邊的長不可能是1，2，3．這是因?yàn)?/FONT>1＋2＝3，而三角形任何兩邊之和大于第三邊．

　　(2)如果三邊分別是a＝2，b＝3，c＝4．

因?yàn)?/P>

，

，

．

在此三角形中，A是最小角，C是最大角，但是，

，

所以，

．

邊長為2，3，4的三角形不滿足條件．

　　(3)如果三邊分別是a＝3，b＝4，c＝5，此三角形是直角三角形，最大角是90°，最小角不等于45°，此三角形不滿足條件．

　　(4)如果三邊是a＝4，b＝5，c＝6．此時(shí)，

，

，

．

因?yàn)?/P>

，而，，

所以，

．

所以，邊長為4，5，6的三角形滿足條件．

　　(5)當(dāng)，三角形的三邊是a＝n，b＝n＋1，c＝n＋2時(shí)，三角形的最小角是A，最大角是C．

，

．

cosA隨n的增大而減小，A隨之增大，cosC隨n的增大而增大，C隨之變小．由于時(shí)有C＝2A，所以，時(shí)，不可能．

　　綜上可知，只有邊長分別為4，5，6的三角形滿足條件．


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)是F（1，0），0為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)M是直線l：x=4上的動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)M為直徑的圓過點(diǎn)N，且NF⊥OM，是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得N到該定點(diǎn)的距離為定值？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•汕尾二模）設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知an+1=2Sn+2(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）在an與an+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成公差為dn的等差數(shù)列（如：在a1與a2之間插入1個(gè)數(shù)構(gòu)成第一個(gè)等差數(shù)列，其公差為d1；在a2與a3之間插入2個(gè)數(shù)構(gòu)成第二個(gè)等差數(shù)列，其公差為d2，…以此類推），設(shè)第n個(gè)等差數(shù)列的和是An．是否存在一個(gè)關(guān)于n的多項(xiàng)式g（n），使得An=g（n）dn對任意n∈N*恒成立？若存在，求出這個(gè)多項(xiàng)式；若不存在，請說明理由；
（3）對于（2）中的數(shù)列d1，d2，d3，…，dn，…，這個(gè)數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)dm，dk，dp（其中正整數(shù)m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•寶坻區(qū)一模）已知數(shù)列{an}滿足an=2•an-1+2n-1（n≥2），且a4=81．
（1）求數(shù)列的前三項(xiàng)：a1，a2，a3；
（2）是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{
an+λ2n
}為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由；
（3）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•煙臺一模）已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，且滿足：a2•a4=65，a1+a5=18．
（1）若1＜i＜21，a1，ai，a21是某等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，求i的值；
（2）設(shè)bn=
n(2n+1)Sn
，是否存在一個(gè)最小的常數(shù)m使得b1+b2+…+bn＜m對于任意的正整數(shù)n均成立，若存在，求出常數(shù)m；若不存在，請說明理由．

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