Question

2．定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（-$\frac{3}{4}$，0）對稱，且f（x）=-$\frac{1}{{f（{x+\frac{3}{2}}）}}$，f（-1）=1，f（0）=-2，則f（1）+f（2）+…+f（2015）=2．

Answer 1

分析 由已知中f（x）=-$\frac{1}{{f（{x+\frac{3}{2}}）}}$，可得函數(shù)f（x）是以3為周期的周期函數(shù)，再由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（-$\frac{3}{4}$，0）對稱，f（-1）=1，f（0）=-2，可得f（-2）=1，進(jìn)而可得一個周期內(nèi)三個整數(shù)的函數(shù)值和為0，進(jìn)而利用分組求和法得到答案．

解答 解：∵$f（x）=-\frac{1}{{f（{x+\frac{3}{2}}）}}$，則$f（{x+\frac{3}{2}}）=-\frac{1}{f（x+3）}$，
所以f（x）=f（x+3），
即函數(shù)f（x）是以3為周期的周期函數(shù)，
令x=-1，則$f（-1）=-\frac{1}{{f（{-1+\frac{3}{2}}）}}$，故而$f（{\frac{1}{2}}）=-1$，
由函數(shù)圖象關(guān)于點$（{-\frac{3}{4}，\;\;0}）$對稱，所以$f（x）+f（{-\frac{3}{2}-x}）=0$，
令$x=\frac{1}{2}$，則$f（{\frac{1}{2}}）+f（-2）=0$，則f（-2）=1，
所以f（-2）+f（-1）+f（0）=0，
故：f（1）+f（2）+…+f（2015）=f（1）+f（2）=f（-2）+f（-1）=2．
故答案為：2

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的值，函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的周期性，分組求和法，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．