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17.若直角坐標(biāo)系內(nèi)A,B兩點(diǎn)滿足:(1)點(diǎn)A,B都在f(x)的圖象上;
(2)點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則稱點(diǎn)對(duì)(A,B)是函數(shù)f(x)的一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”,點(diǎn)對(duì)(A,B)與(B,A)可看作一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”,已知函數(shù)f(x)={x2+2xx02exx0,則f(x)的“姊妹點(diǎn)對(duì)”有2個(gè).

分析 設(shè)P(x,y) (x<0),則點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(-x,-y),從而2ex+x2+2x=0,令φ(x)=2ex+x2+2x,利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出函數(shù)φ(x)在區(qū)間(-2,-1),(-1,0)分別各有一個(gè)零點(diǎn).由此能求出f(x)的“姊妹點(diǎn)對(duì)”的個(gè)數(shù).

解答 解:設(shè)P(x,y) (x<0),則點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(-x,-y),
于是2ex=-(x2+2x),化為2ex+x2+2x=0,
令φ(x)=2ex+x2+2x,下面證明方程φ(x)=0有兩解.
由x2+2x≤0,解得-2≤x≤0,而2ex>0(x≥0),∴只要考慮x∈[-2,0]即可.
求導(dǎo)φ′(x)=2ex+2x+2,
令g(x)=2ex+2x+2,則g′(x)=2ex+2>0,
∴φ′(x)在區(qū)間[-2,0]上單調(diào)遞增,
而φ′(-2)=2e-2-4+2<0,φ′(-1)=2e-1>0,
∴φ(x)在區(qū)間(-2,0)上只存在一個(gè)極值點(diǎn)x0
而φ(-2)=2e-2>0,φ(-1)=2e-1-1<0,φ(0)=2>0,
∴函數(shù)φ(x)在區(qū)間(-2,-1),(-1,0)分別各有一個(gè)零點(diǎn).
也就是說f(x)的“姊妹點(diǎn)對(duì)”有2個(gè).
故答案為:2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的“姊妹點(diǎn)對(duì)”的個(gè)數(shù)的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.

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其中描述正確的是①③④.

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