【題目】已知函數(shù),,其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ),使得不等式成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若,求證:.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)證明見解析.
【解析】
試題第一問根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上的最大值小于等于在區(qū)間上的最大值,之后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得相應(yīng)的最值,第二問轉(zhuǎn)化不等式,將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最小值大于另一個(gè)函數(shù)的最大值,從而求得結(jié)果.
試題解析:(Ⅰ) 由題意,,使得不等式成立,
等價(jià)于.1分
,
當(dāng)時(shí),,故在區(qū)間上單調(diào)遞增,
所以時(shí),取得最大值1.即
又當(dāng)時(shí),,
所以在上單調(diào)遞減,所以,
故在區(qū)間上單調(diào)遞減,因此,時(shí),.
所以,則.
實(shí)數(shù)的取值范圍是.
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),要證,只要證,
即證,由于,
只要證.
下面證明時(shí),不等式成立.
令,則,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.
所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最小值為1.
法一:,則,即,即,
由三角函數(shù)的有界性,,即,所以,而,
但當(dāng)時(shí),;時(shí),
所以,,即
綜上所述,當(dāng)時(shí),成立.
法二:令,其可看作點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率,
所以直線的方程為:,
由于點(diǎn)在圓上,所以直線與圓相交或相切,
當(dāng)直線與圓相切且切點(diǎn)在第二象限時(shí),
直線取得斜率的最大值為.而當(dāng)時(shí),;
時(shí),.所以,,即
綜上所述,當(dāng)時(shí),成立.
法三:令,則,
當(dāng)時(shí),取得最大值1,而,
但當(dāng)時(shí),;時(shí),
所以,,即
綜上所述,當(dāng)時(shí),成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,如圖放置的邊長(zhǎng)為的正方形沿軸滾動(dòng)(無滑動(dòng)滾動(dòng)),點(diǎn)恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)頂點(diǎn)的軌跡方程是,則對(duì)函數(shù)的判斷正確的是( )
A.函數(shù)是奇函數(shù)B.對(duì)任意的,都有
C.函數(shù)的值域?yàn)?/span>D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列中,,,的前項(xiàng)和為,且滿足().
(1)試求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)令,是的前項(xiàng)和,證明:;
(3)證明:對(duì)任意給定的,均存在,使得時(shí),(2)中的恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離的比值為,設(shè)動(dòng)點(diǎn)形成的軌跡為曲線..
(1)求曲線的方程;
(2)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn),過點(diǎn)作,垂足為,過點(diǎn)作,垂足為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)為,曲線上的動(dòng)點(diǎn)P滿足.又曲線上的點(diǎn)A、B滿足.
(1)求曲線的方程;
(2)若點(diǎn)A在第一象限,且,求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(3)求證:原點(diǎn)到直線AB的距離為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若數(shù)列中存在三項(xiàng),按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列,則稱為“等比源數(shù)列”。
(1)在無窮數(shù)列中,,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)在(1)的結(jié)論下,試判斷數(shù)列是否為“等比源數(shù)列”,并證明你的結(jié)論;
(3)已知無窮數(shù)列為等差數(shù)列,且,(),求證:數(shù)列為“等比源數(shù)列”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列 的前項(xiàng)和為,對(duì)一切,點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上.
(1)求,歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式(不必證明);
(2)將數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為,,, ;,,,;,…,分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和,設(shè)由這些和按原來括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為,求的值;
(3)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)積,若不等式對(duì)一切都成立,其中,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)在“精準(zhǔn)扶貧”行動(dòng)中,決定幫助一貧困山區(qū)將水果運(yùn)出銷售.現(xiàn)有8輛甲型車和4輛乙型車,甲型車每次最多能運(yùn)6噸且每天能運(yùn)4次,乙型車每次最多能運(yùn)10噸且每天能運(yùn)3次,甲型車每天費(fèi)用320元,乙型車每天費(fèi)用504元.若需要一天內(nèi)把180噸水果運(yùn)輸?shù)交疖囌,則通過合理調(diào)配車輛運(yùn)送這批水果的費(fèi)用最少為______元.
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【題目】如圖1,在矩形中,,為垂足,在上,將沿折起,使點(diǎn)到點(diǎn)的位置,連,且,如圖2.
(1)求證:平面;
(2)求鈍二面角的余弦值.
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