Question

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱集合M是“好集合”．給出下列4個集合：
①M={(x，y)|y=

1

x

}   ②M={（x，y）|y=e^x-2}   ③M={（x，y）|y=cosx}    ④M={（x，y）|y=lnx}
其中所有“好集合”的序號是（　　）

A．①②④

B．②③④

C．③④

D．①③④

Answer 1

分析：對于①利用漸近線互相垂直，判斷其正誤即可．
對于②通過特例，滿足好集合的定義，畫出函數(shù)的圖象即可判斷正誤；
對于③通過特例，滿足好集合的定義，畫出函數(shù)的圖象即可判斷正誤；
對于④通過函數(shù)的定義域與函數(shù)的值域的范圍，即可判斷正誤；

解答：解：對于①y=

1

x

是以x，y軸為漸近線的雙曲線，漸近線的夾角是90°，所以在同一支上，任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，滿足好集合的定義；在另一支上對任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，所以不滿足好集合的定義，不是好集合．
對于②M={（x，y）|y=e^x-2}，如圖（2）如圖紅線的直角始終存在，對于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如取M（0，-1），則N（ln2，0），滿足好集合的定義，
所以是好集合；正確．
對于③M={（x，y）|y=cosx}，如圖（3）對于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如（0，1）、（π，0），滿足好集合的定義，所以M是好集合；正確．
對于④M={（x，y）|y=lnx}，如圖（4）取點（1，0），曲線上不存在另外的點，使得兩點與原點的連線互相垂直，所以不是好集合．

所以②③正確．
故選C．

點評：本題考查好集合的定義，利用對于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，是本題解答的關鍵，函數(shù)的基本性質的考查，注意存在與任意的區(qū)別．