【題目】設(shè)f(x)=ex﹣ex﹣x.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知g(x)=x2f(x)+(x+1)[f(x)+(1﹣a)x]+(1﹣a)x3 . 若對(duì)所有x≥0,都有g(shù)(x)≥0成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:f′(x)=ex+ex﹣1≥2 ﹣1=2﹣1=1>0,

∴f(x)在(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞增.


(2)解:g(x)=x2f(x)+(x+1)[f(x)+(1﹣a)x]+(1﹣a)x3

=(x2+x+1)f(x)+(1﹣a)[x3+x(x+1)]

=(x2+x+1)[f(x)+x(1﹣a)],

顯然x2+x+1>0,故若使g(x)≥0,只需要f(x)+x(1﹣a)=ex﹣ex﹣ax≥0即可,

令h(x)=ex﹣ex﹣ax,

∴h′(x)=ex+ex﹣a≥2 ﹣a=2﹣a,

①當(dāng)2﹣a≥0時(shí),即a≤2時(shí),h′(x)≥0恒成立,

∴h(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),

∴h(x)≥h(0)=0,

即g(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,

②當(dāng)a>2時(shí),則令h′(x)=0,即ex+ex﹣a=0,可化為(ex2﹣aex+1=0,

解得ex=

∴兩根x1=ln =ln <0,舍去,x2=ln >0,

從而h′(x)= = ,

當(dāng)0<x<x2時(shí),則 ,ex

∴h′(x)<0,

∴h(x)在[0,x2]為減函數(shù),

又h(0)=0,

∴h(x2)<0,

∴當(dāng)a>2時(shí),h(x)≥0不恒成立,即g(x)≥0不恒成立,

綜上所述a的取值范圍為(﹣∞,2].


【解析】(1)先求導(dǎo),再根據(jù)基本不等式即可判斷f(x)在(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞增,(2)先化簡(jiǎn)g(x),再利用分析法,故若使g(x)≥0,只需要f(x)+x(1﹣a)=ex﹣ex﹣ax≥0即可,構(gòu)造函數(shù)h(x)=ex﹣ex﹣ax,求導(dǎo)后,再分類(lèi)討論,求出函數(shù)的最值,即可得到參數(shù)的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.

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