【題目】【2017福建三明5月質檢】已知函數(shù),

(Ⅰ)當時,求證:過點有三條直線與曲線相切;

(Ⅱ)當時, ,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(I)詳見解析;(II).

【解析】

解法一:(Ⅰ)當時, ,

設直線與曲線相切,其切點為,

則曲線在點處的切線方程為: ,

因為切線過點,所以,

,

,∴,

,

, , ,

在三個區(qū)間上至少各有一個根

又因為一元三次方程至多有三個根,所以方程恰有三個根,

故過點有三條直線與曲線相切.

(Ⅱ)∵當時, ,即當時,

∴當時, ,

,則

,則

(1)當時,∵,∴,從而(當且僅當時,等號成立)

上單調遞增,

又∵,∴當時, ,從而當時,

上單調遞減,又∵,

從而當時, ,即

于是當時,

(2)當時,令,得,∴

故當時, ,

上單調遞減,

又∵,∴當時, ,

從而當時, ,

上單調遞增,又∵,

從而當時, ,即

于是當時, ,

綜合得的取值范圍為

解法二:(Ⅰ)當時, ,

設直線與曲線相切,其切點為

則曲線在點處的切線方程為,

因為切線過點,所以,

,∴

,則,令

變化時, , 變化情況如下表:

+

0

-

0

+

極大值

極小值

恰有三個根,

故過點有三條直線與曲線相切.

(Ⅱ)同解法一.

練習冊系列答案
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A.
B.
C.
D.

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