【題目】已知數列{an},{bn},Sn為數列{an}的前n項和,向量 =(1,bn),
=(an﹣1,Sn),
∥
.
(1)若bn=2,求數列{an}通項公式;
(2)若bn= ,a2=0.
①證明:數列{an}為等差數列;
②設數列{cn}滿足cn= ,問是否存在正整數l,m(l<m,且l≠2,m≠2),使得cl、c2、cm成等比數列,若存在,求出l、m的值;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:因為 =(1,bn),
=(an﹣1,Sn),
∥
.
得Sn=(an﹣1)bn,當bn=2,則Sn=2an﹣2 ①,
當n=1時,S1=2a1﹣2,即a1=2,
又Sn+1=2an+1﹣2 ②,
②﹣①得Sn+1﹣Sn=2an+1﹣2an,
即an+1=2an,又a1=2,
所以{an}是首項為2,公比為2的等比數列,
所以an=2n.
(2)解:①證明:因為 ,則2Sn=nan﹣n③,
當n=1時,2S1=a1﹣1,即a1=﹣1,
又2Sn+1=( n+1)an+1﹣(n+1)④,
④﹣③得
2Sn+1﹣2Sn=(n+1)an+1﹣nan﹣1,
即(n﹣1)an+1﹣nan﹣1=0 ⑤,
又nan+2﹣(n+1)an+1﹣1=0⑥
⑥﹣⑤得,nan+2﹣2nan+1+nan=0,
即an+2+an=2an+1,所以數列{an}是等差數列.
②又a1=﹣1,a2=0,
所以數列{an}是首項為﹣1,公差為1的等差數列.
an=﹣1+(n﹣1)×1=n﹣2,所以 ,
假設存在l<m(l≠2,m≠2),使得cl、c2、cm成等比數列,即 ,
可得 ,
整理得5lm﹣4l=4m+4即 ,由
,得1≤m≤8,
一一代入檢驗 或
或
或
或
或
或
或
由l<m,所以存在l=1,m=8符合條件.
【解析】(1)利用兩個向量平行的坐標關系得到Sn=(an﹣1)bn , 進一步對n取值,得到數列{an}是等差數列;(2)①由 ,則2Sn=nan﹣n③,又2Sn+1=( n+1)an+1﹣(n+1)④,兩式相減即可得到數列{an}的遞推公式,進一步對n 取值,得到數列{an}是首項為﹣1,公差為1的等差數列.
②由①得到數列{cn}通項公式,根據m,l的范圍討論可能的取值.
【考點精析】本題主要考查了等差關系的確定和數列的通項公式的相關知識點,需要掌握如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數,即-
=d ,(n≥2,n∈N
)那么這個數列就叫做等差數列;如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=x|x﹣a|,a∈R,g(x)=x2﹣1.
(1)當a=1時,解不等式f(x)≥g(x);
(2)記函數f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值為F(a),求F(a)的表達式.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某展覽館用同種規(guī)格的木條制作如圖所示的展示框,其內框與外框均為矩形,并用木條相互連結,連結木條與所連框邊均垂直.水平方向的連結木條長均為8cm,豎直方向的連結木條長均為4cm,內框矩形的面積為3200cm2 . (不計木料的粗細與接頭處損耗)
(1)如何設計外框的長與寬,才能使外框矩形面積最�。�
(2)如何設計外框的長與寬,才能使制作整個展示框所用木條最少?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知數列{an}的首項a1=a,Sn是數列{an}的前n項和,且滿足: =3n2an+
,an≠0,n≥2,n∈N*.
(1)若數列{an}是等差數列,求a的值;
(2)確定a的取值集合M,使a∈M時,數列{an}是遞增數列.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】下列命題中,真命題的是( )
A.已知f(x)=sin2x+ ,則f(x)的最小值是2
B.已知數列{an}的通項公式為an=n+ ,則{an}的最小項為2
C.已知實數x,y滿足x+y=2,則xy的最大值是1
D.已知實數x,y滿足xy=1,則x+y的最小值是2
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