Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，過點（1，0）作傾斜角為45°的直線l交橢圓于A、B兩點，O為坐標原點，則△AOB的面積為

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：過點（1，0）作傾斜角為45°的直線l方程為y=x-1，聯立

y=x-1 x2 4 + y2 3 =1

，得7x²-8x-8=0，由此利用韋達定理、弦長公式、點到直線距離公式能求出△AOB的面積．

解答： 解：過點（1，0）作傾斜角為45°的直線l方程為y=x-1，
聯立

y=x-1 x2 4 + y2 3 =1

，得7x²-8x-8=0，
△=64+4×7×8＞0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

8

7

，x1x2=-

8

7

，
|AB|=

(1+1)[( 8 7 )2+4× 8 7 ]

=

24

7

，
原點O（0，0）到直線y=x-1的距離d=

|-1|

2

=

2

2

，
∴△AOB的面積S=

1

2

×d×|AB|=

1

2

×

2

2

×

24

7

=

6 2

7

．
故答案為：

6 2

7

．

點評：本題考查三角形的面積的求法，是中檔題，解題時要注意橢圓性質、韋達定理、弦長公式、點到直線距離公式的合理運用．