Question

11．某班期末對數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科總評成績有21個優(yōu)秀，物理總評19人優(yōu)秀，化學(xué)總評有20人優(yōu)秀，數(shù)學(xué)和物理都優(yōu)秀的有9人，物理和化學(xué)都優(yōu)秀的有7人，化學(xué)和數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有8人，試確定全班人數(shù)以及僅數(shù)學(xué)、僅物理、僅化學(xué)單科優(yōu)秀的人數(shù)范圍（該班有5名學(xué)生沒有任一科是優(yōu)秀）．

Answer 1

分析 根據(jù)條件關(guān)系，建立集合之間的關(guān)系進行求解即可．

解答 解：設(shè)A={數(shù)學(xué)總評優(yōu)秀的學(xué)生}，B={物理總評優(yōu)秀的學(xué)生}，C={化學(xué)總評優(yōu)秀的學(xué)生}，
則card（A）=21，card（B）=19，card（C）=20，card（A∩B）=9，card（B∩C）=7，
card（C∩A）=8，
∵card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）-card（A∩B）-card（B∩C）-card（C∩A）+card（A∩B∩C），
∴card（A∪B∪C）-card（A∩B∩C）=21+19+20-9-8=36，
這里card（A∪B∪C）是數(shù)學(xué)，物理和化學(xué)至少有一門是優(yōu)秀的人數(shù)，
card（A∩B∩C）是三科全部優(yōu)秀的人數(shù)，
則估計card（A∪B∪C）的范圍問題與估計card（A∩B∩C）的范圍有關(guān)．
注意到card（A∩B∩C）≤min{card（A∩B），card（B∩C），card（C∩A）}=7，
則0≤card（A∩B∩C）≤7，
因而可得36≤card（A∪B∪C）≤43，
∵card（A∪B∪C）+card（$\overline{A∪B∪C}$）=card（U），
其中card（$\overline{A∪B∪C}$）=5，
∴41≤card（U）≤48，表示全班人數(shù)在41～48人之間，僅數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)是card（A∩$\overline{B∪C}$），
∴card（A∩$\overline{B∪C}$）=card（A∪B∪C）-card（B∪C）=card（A∪B∪C）-card（B）-card（C）+card（B∩C）=card（A∪B∪C）-32，
則4≤card（A∩$\overline{B∪C}$）≤11，同理3≤card（B∩$\overline{A∪C}$）≤10，5≤card（C∩$\overline{B∪C}$）≤12，
故僅數(shù)學(xué)單科優(yōu)秀的學(xué)生在4～11之間，僅物理單科優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)在3～10之間，僅化學(xué)單科優(yōu)秀的學(xué)生在5～12人之間．

點評 本題主要考查集合關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)題意，設(shè)計這些具有單一性質(zhì)的集合，列出已知數(shù)據(jù)，并把問題用集合中的元素數(shù)目符號準(zhǔn)確的提出來，在此基礎(chǔ)上引用有關(guān)運算公式進行計算，是解決本題的關(guān)鍵．