Question

20．已知a、b∈R⁺，其a+b=4，求$\frac{1}{3a}$+$\frac{1}{2b}$的最小值．

Answer 1

分析 由題意可得$\frac{1}{3a}$+$\frac{1}{2b}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{3a}$+$\frac{1}{2b}$）（a+b）=$\frac{1}{4}$（$\frac{5}{6}$+$\frac{3a}$+$\frac{a}{2b}$），由基本不等式可得．

解答 解：∵a、b∈R⁺，其a+b=4，
∴$\frac{1}{3a}$+$\frac{1}{2b}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{3a}$+$\frac{1}{2b}$）（a+b）
=$\frac{1}{4}$（$\frac{5}{6}$+$\frac{3a}$+$\frac{a}{2b}$）≥$\frac{1}{4}$（$\frac{5}{6}$+2$\sqrt{\frac{3a}•\frac{a}{2b}}$）=$\frac{5+2\sqrt{6}}{24}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3a}$=$\frac{a}{2b}$即a=4$\sqrt{6}$-8且b=12-4$\sqrt{6}$時(shí)取等號，
∴$\frac{1}{3a}$+$\frac{1}{2b}$的最小值為：$\frac{5+2\sqrt{6}}{24}$．

點(diǎn)評 本題考查基本不等式求最值，“1”的代換是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．