過雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F1（-2，0）、右焦點(diǎn)F2（2，0）分別作x軸的垂線，交雙曲線的兩漸近線于A、B、C、D四點(diǎn)，且四邊形ABCD的面積為16
3
．
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P是雙曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PF2為半徑的圓交射線PF1于M，求點(diǎn)M的軌跡方程．
分析：（1）由雙曲線及其漸近線的對(duì)稱性知四邊形ABCD為矩形，可求四邊形ABCD的面積，從而可得雙曲線的幾何量，從而可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）利用雙曲線的定義，可得點(diǎn)M的軌跡是在以F1為圓心，半徑為2的圓，從而可得軌跡方程．
解答：解：（1）由
x=2
y=
b
a
x
，解得y=
2b
a
，
由雙曲線及其漸近線的對(duì)稱性知四邊形ABCD為矩形，故四邊形ABCD的面積為4×
4b
a
=16
3

所以b=
3
a，結(jié)合c=2且c2=a2+b2得：a=1，b=
3
，
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-
y2
3
=1；
（2）P是雙曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，故|PF1-PF2|=2，
又M點(diǎn)在射線PF1上，且PM=PF2，
故F1M=|PF1-PM|=|PF1-PF2|=2，
所以點(diǎn)M的軌跡是在以F1為圓心，半徑為2的圓，
其軌跡方程為：（x+2）2+y2=4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)作圓x2+y2=a2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B．若∠AOB=120°（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列命題：
①已知橢圓
x2
16
+
y2
8
=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，則這個(gè)橢圓上存在六個(gè)不同的點(diǎn)M，使得△F1MF2為直角三角形；
②已知直線l過拋物線y=2x2的焦點(diǎn)，且與這條拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為2；
③若過雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)作它的一條漸近線的垂線，垂足為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OM|=a；
④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，則這兩個(gè)圓恰有2條公切線．
其中正確命題的序號(hào)是
 
．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1上一點(diǎn)P作一直線交雙曲線C漸近線于A，B兩點(diǎn)，且滿足
AP
=λ
PB
，求△AOB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，若垂足恰好在線段OF的垂直平分線，則雙曲線C的離心率是（　　）

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