Question

已知f（x）=ax²+4x+1（a＜0），當(dāng)x∈[0，t]（t＞0）時(shí)，|f（x）|的最大值為3，
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求t的值；           
（2）求t關(guān)于a的表達(dá)式g（a）；
（3）求g（a）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=-x²+4x+1．又對稱軸是x=2，而f（2）=5，判斷出0＜t＜2，由f（x）=3求解．
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，由特殊到一般：將f（x）配方得出，分，兩類求解．
（3）按照分段函數(shù)求最值的方法，逐段求最大值，再“大中取大”得出g（a）的最大值．
解答：解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=-x²+4x+1，
因?yàn)閒（0）=1＞0，令-x²+4x+1=3得：
又對稱軸是x=2，而f（2）=5＞3，所以t=…（4分）
（2）
（ⅰ）當(dāng)時(shí)，即a∈（-2，0）時(shí)，
令ax²+4x+1=3得：
此時(shí)，g（a）=．…（7分）
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，即a∈（-∞，-2]時(shí)，
令ax²+4x+1=-3得：
此時(shí)，g（a）=．
綜上：當(dāng)a∈（-2，0）時(shí)，g（a）=．
當(dāng)a∈（-∞，-2]時(shí)，g（a）=．
（3）（�。゛∈（-∞，-2]時(shí)，g（a）===…（13分）
（ⅱ）a∈（-2，0）時(shí)，g（a）===
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101230327358149988/SYS201311012303273581499019_DA/20.png">，所以g（a）的最大值為．…（16分）
點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)，考查分類討論、計(jì)算能力．由特殊到一般是人們認(rèn)識研究事物的方法之一，本題中問題（2）的思維切入點(diǎn)是由（1）導(dǎo)入的．此種問題的設(shè)置形式和思維方法在數(shù)學(xué)各個(gè)章節(jié)題目中都有．希體會、積累、掌握．