若
a
=(
3
cosωx，sinωx)，
b
=（sinωx，sinωx），其中ω＞0，記函數(shù)f（x）=2
a
•
b
，f（x）圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離為
π
2
，
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間和f（x）的最大值及取得最大值時x的取值集合．
分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算公式，結(jié)合二倍角的三角函數(shù)公式和輔助角公式化簡得f（x）=2sin(2ωx-
π
6
)+1，再由正弦函數(shù)周期公式，建立ω的等式并解之即可得ω的值；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的公式解關(guān)于x的不等式，即可得到f（x）的單調(diào)減區(qū)間．再根據(jù)正弦函數(shù)的值域和函數(shù)取最大值時x的取值，解關(guān)于x的方程即可得到f（x）的最大值及取得最大值時x的取值集合．
解答：解：∵
a
=(
3
cosωx，sinωx)，
b
=（sinωx，sinωx）
∴
a
•
b
=
3
sinωxcosωx+sin2ωx=
3
2
sin2ωx+
1
2
（1-cos2ωx）
故f（x）=2
a
•
b
=
3
sin2ωx-cos2ωx+1=2sin(2ωx-
π
6
)+1…（4分）
（1）∵f（x）圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離為
π
2

∴可得
T
2
=
π
2ω
=
π
2
，解之得ω=1．…（6分）
（2）由（1）得f （x）=2sin（2x-
π
6
）+1
由2kπ+
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
3π
2
，可得kπ+
π
3
≤x≤kπ+
5π
3
，k∈Z
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+
π
3
，kπ+
5π
3
]，k∈Z…（8分）
當2x-
π
6
=
π
2
+2kπ（k∈Z），即x=
π
3
+kπ時，函數(shù)的最大值fmax（x）=3
∴f（x）的最大值為3，取得最大值時x的取值集合為{x|x=
π
3
+kπ，k∈Z}…（12分）
點評：本題以向量的數(shù)量積運算為載體，給出三角函數(shù)式求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和周期，并求取得最大值時x的取值集合，著重考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若
a
=(
3
cosωx，sinωx)，
b
=(sinωx，0)，其中ω∈(-
1
2
，
5
2
)，函數(shù)f(x)=(
a
+
b
)•
b
-
1
2
，且f（x）的圖象關(guān)于直線x=
π
3
對稱．
（1）求f（x）的解析式及f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）將y=f（x）的圖象向左平移
π
3
個單位，再將得到的圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變）后得到的y=g（x）的圖象；若函數(shù)y=g（x），x∈(
π
2
，3π)的圖象與y=a的圖象有三個交點且交點的橫坐標成等比數(shù)列，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若
a
=(
3
cosωx，sinωx)，
b
=（sinωx，0），其中ω＞0，記函數(shù)f（x）=（
a
+
b
）•
b
+k．
（1）若f（x）圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離不小于
π
2
，求ω的取值范圍．
（2）若f（x）的最小正周期為π，且當x∈[-
π
6
，
π
6
]時，f（x）的最大值是
1
2
，求f（x）的解析式，并說明如何由y=sinx的圖象變換得到y(tǒng)=f（x）的圖象．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若
a
=(
3
cosωx，sinωx)，
b
=(sinωx，0)，其中ω＞0，記函數(shù)f(x)=(
a
+
b
)•
b
-
1
2

（1）若f（x）的圖象中兩條相鄰對稱軸間的距離
π
2
，求ω及f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（2）在（1）的條件下，且x∈[-
π
6
，
π
6
]，求最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若
a
=(
3
cosωx，sinωx)，
b
=(sinωx，0)，其中ω＞0，函數(shù)f(x)=(
a
+
b
)•
b
+k．
（1）若f（x）圖象申相鄰兩條對稱軸間的距離不小于
π
2
，求ω的取值范圍．
（2）若f（x）的最小正周期為π，且當x∈[-
π
6
，
π
6
]時，f（x）的最大值是
1
2
，求f（x）的解析式．

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