Question

14．F₁、F₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，|OF₂|為半徑的圓與該雙曲線右支交于A、B兩點(diǎn)，若△F₁AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$-1
• D． 1+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 連結(jié)AF₁，根據(jù)圓的直徑的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，證出△F₁AF₂是含有30°角的直角三角形，由此得到|F₁A|=c且|F₂A|=$\sqrt{3}$c．再利用雙曲線的定義，得到2a=|F₂A|-|F₁A|=（ $\sqrt{3}$-1）c，即可算出該雙曲線的離心率．

解答 解：連結(jié)AF₁，
∵F₁F₂是圓O的直徑，
∴∠F₁AF₂=90°，即F₁A⊥AF₂，
又∵△F₂AB是等邊三角形，F(xiàn)₁F₂⊥AB，
∴∠AF₂F₁=$\frac{1}{2}$∠AF₂B=30°，
因此，Rt△F₁AF₂中，|F₁F₂|=2c，|F₁A|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|=c，
|F₂A|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|F₁F₂|=$\sqrt{3}$c．
根據(jù)雙曲線的定義，得2a=|F₂A|-|F₁A|=（$\sqrt{3}$-1）c，
解得c=（$\sqrt{3}$+1）a，
∴雙曲線的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$+1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題給出以雙曲線焦距F₁F₂為直徑的圓交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，在△F₂AB是等邊三角形的情況下求雙曲線的離心率．著重考查了雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．