Question

設f(x)=

ln(1+x)

x

(x＞0)
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的單調性；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使得關于x的不等式ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，試說明理由；
（Ⅲ）求證：(1+

1

n

)n＜e，n∈N*（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析：（1）已知f（x），構造新的函數(shù)g（x），利用導數(shù)求函數(shù)單調的方法步驟；
（2）將ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立等價于ln（1+x）-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，構造新的函數(shù)h（x）=ln（1+x）-ax，x∈[0，+∞），依題意，我們所要求的a的取值范圍，需要滿足以下條件：能夠使得h（x）在[0，+∞）上單調遞減．
（3）由（2）可知

ln(1+x)

x

＜1在（0，+∞）上恒成立，可以得到(1+x)

1

x

＜e，只需令

1

x

=n，即可．

解答：證明：（1）∵f(x)=

ln(1+x)

x

，(x＞0)
∴f′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

，
設g(x)=

x

1+x

-ln(1+x)，(x≥0)．
∴g′(x)=

1+x-x

(1+x)2

-

1

1+x

=

1-(1+x)

(1+x)2

=

-x

(1+x)2

≤0，
∴y=g（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)．
∴g(x)=

x

1+x

-ln(1+x)≤g(0)=0，
∴f′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

＜0，
∴函數(shù)f(x)=

ln(1+x)

x

在（0，+∞）上為減函數(shù)．
（2）ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，?ln（1+x）-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，
設h（x）=ln（1+x）-ax，則h（0）=0，
∴h′(x)=

1

1+x

-a，
若a≥1，則x∈[0，+∞）時，h′(x)=

1

1+x

-a≤0恒成立，
∴h（x）=ln（1+x）-ax在[0，+∞）上為減函數(shù)
∴l(xiāng)n（1+x）-ax＜h（0）=0在（0，+∞）上恒成立，
∴l(xiāng)n（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，
若a≤0顯然不滿足條件，
若0＜a＜1，則h′(x)=

1

1+x

-a=0時，x=

1

a

-1，
∴x∈[0，

1

a

  時h'（x）≥0，
∴h（x）=ln（1+x）-ax在[0，

1

a

  上為增函數(shù)，
當x∈[0，

1

a

  時，h（x）=ln（1+x）-ax＞0，
不能使ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，
∴a≥1
（3）由（2）可知

ln(1+x)

x

＜1在（0，+∞）上恒成立，
∴ln(1+x)

1

x

＜1，即(1+x)

1

x

＜e，
取

1

x

=n，即可證得(1+

1

n

)n＜e對一切正整數(shù)n成立．

點評：本題綜合性較強，主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，以此為主線，貫穿其中．但對以上三個問題的解答，關鍵是構造函數(shù)，這是函數(shù)這一章節(jié)的重點和難點．