Question

【題目】已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：存在實(shí)數(shù)、，對(duì)于定義域內(nèi)任意，均有成立，稱數(shù)對(duì)為函數(shù)的“伴隨數(shù)對(duì)”.

（1）判斷函數(shù)是否屬于集合，并說明理由；

（2）若函數(shù)，求滿足條件的函數(shù)的所有“伴隨數(shù)對(duì)”；

（3）若、都是函數(shù)的“伴隨數(shù)對(duì)”，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式和零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；詳見解析

（2），，；

（3），零點(diǎn)為，2015，2016.

【解析】

(1) 由題意可得，化為對(duì) 成立，需滿足條件，解方程即可判斷；(2) 由題意可得，運(yùn)用兩角和差公式，化簡(jiǎn)結(jié)合余弦函數(shù)的值域即可得到所求數(shù)對(duì)；(3)由都是函數(shù)的“伴隨數(shù)對(duì)”，可得為周期為4的函數(shù)，，，，的函數(shù)解析式，可得，的解析式，即可得到所求零點(diǎn).

(1)的定義域?yàn)?/span>，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)的任意均有成立，則，

化為，由于上式對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都成立：，解得

是函數(shù)的“伴隨數(shù)對(duì)”，；

(2) 函數(shù)，

，

，

，

都成立，，

，

，又，

故，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

的“伴隨數(shù)對(duì)”為；

(3) 都是函數(shù)的“伴隨數(shù)對(duì)”，

，

，

當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，

當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，

當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，

，

，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為.