Question

設(shè)關(guān)于x的方程x²-mx-1=0有兩個(gè)實(shí)根α，β，且α＜β．定義函數(shù)f(x)=

2x-m

x2+1

（1）當(dāng)α=-1，β=1時(shí)，判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并加以證明；
（2）求αf（α）+βf（β）的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)韋達(dá)定理，由α=-1，β=1，可求出m值，進(jìn)而求出函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可得答案．
（2）由α，β是方程x²-mx-1=0的兩個(gè)實(shí)根，根據(jù)韋達(dá)定理可得

α+β=m α•β=-1

，代入分別求出f（α），f（β）的值，進(jìn)而可求αf（α）+βf（β）的值．

解答：解：（1）∵α=-1，β=1，
由韋達(dá)定理可得：m=α+β=0
∴f(x)=

2x

x2+1

------（2分）
設(shè)x₁＜x₂，
f(x2)-f(x1)=

2x2

x22+1

-

2x1

x12+1

=

2x2．(x12+1)-2x1(x22+1)

(x22+1)(x12+1)

=

2(x2-x1)(1-x1x2)

(x22+1)(x12+1)

∵（x₂-x₁）＞0，
當(dāng)x₂，x₁＞1時(shí)，（1-x₁x₂）＜0，此時(shí)f（x₂）-f（x₁）＜0，函數(shù)為減函數(shù)，
當(dāng)-1＜x₂，x₁＜1時(shí)，（1-x₁x₂）＞0，此時(shí)f(x2)-f(x1)＞0，函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)x₂，x₁＜-1時(shí)，（1-x₁x₂）＜0，此時(shí)f(x2)-f(x1)＜0，函數(shù)為減函數(shù)，（9分）
（2）∵α，β是方程x²-mx-1=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴

α+β=m α•β=-1

．
∴f(α)=

2α-m

α2+1

=

2α-(α+β)

α2-αβ

=

α-β

α(α-β)

=

1

α

，
同理f（β）=

1

β

，
∴αf（α）+βf（β）=α•

1

α

+β•

1

β

=1+1=2．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理），熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）是解答的關(guān)鍵．