Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

1

4

（a_n+1）²．求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并求出該數(shù)列的前10項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：當(dāng)n=1時(shí)，利用a1=

1

4

(a1+1)2，解得a₁．當(dāng)n≥2時(shí)，利用an=Sn-Sn-1=

1

4

(an+1)2-

1

4

(an-1+1)2可得，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=

1

4

(a1+1)2，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，由S_n=

1

4

（a_n+1）²，Sn-1=

1

4

(an-1+1)2．
可得an=Sn-Sn-1=

1

4

(an+1)2-

1

4

(an-1+1)2，
化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，∴a_n-a_n-1=2．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
∴Sn=

n(a1+an)

2

=

n(1+2n-1)

2

=n2．
∴S10=102=100．

點(diǎn)評：本題考查了遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，屬于難題．