Question

2．在拋物線y=x²與直線y=2圍成的封閉圖形內(nèi)任取一點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線OA被該封閉圖形解得的線段長小于$\sqrt{2}$的概率是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{15}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{16}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{16}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{14}$

Answer 1

分析 欲求直線OA被該封閉圖形解得的線段長小于$\sqrt{2}$的概率，利用幾何概型解決，只須利用定積分求出陰影圖的面積，最后利用它們的面積比求得即可概率．

解答 解：拋物線y=x²與直線y=2所圍成的面積為
S_陰影=${∫}_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$（2-x²）dx=（2x-$\frac{1}{3}$x³）|${\;}_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
以O(shè)為原點(diǎn)，$\sqrt{2}$為半徑的圓與拋物線y=x²分別交于B，C兩點(diǎn)，
則OB=OC=$\sqrt{2}$，圓O的方程為x²+y²=2，
故A點(diǎn)只有在紅色區(qū)域內(nèi)時(shí)，
直線OA被直線OA被該封閉圖形解得的線段長小于$\sqrt{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴B（-1，1），C（1，1），
∴直線OB，OC的解析式分別為y=-x或y=x，
∴紅色區(qū)域面積S_紅=${∫}_{-1}^{0}（-x-{x}^{2}）dx$+${∫}_{0}^{1}$（x-x²）dx=（-$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}$）|${\;}_{-1}^{0}$+（$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}$）|${\;}_{0}^{1}$=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$，
∴直線OA被該封閉圖形解得的線段長小于$\sqrt{2}$的概率P=$\frac{{S}_{紅}}{{S}_{陰影}}$=$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{8\sqrt{2}}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{16}$，
故選：C

點(diǎn)評 本題考查了利用定積分求面積以及幾何摡型知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．