Question

18．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a=7，c=3，cosC=$\frac{13}{14}$．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由平方關(guān)系和內(nèi)角的范圍求出sinC，由正弦定理求出sinA的值；
（Ⅱ）由余弦定理求出邊b的值，再把數(shù)據(jù)代入三角形面積公式求出△ABC的面積．

解答 解：（Ⅰ）由題意得，cosC=$\frac{13}{14}$、0＜C＜π，
所以sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，
因為a=7，c=3，所以由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
則sinA=$\frac{asinC}{c}$=$\frac{7×\frac{3\sqrt{3}}{14}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
（Ⅱ）由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC，
則9=49+b²-2×7b×$\frac{13}{14}$，
即b²-13b+40=0，解得b=5或b=8，
所以△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×5×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$；
或S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×8×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$．

點評 本題考查正弦、余弦定理，平方關(guān)系，以及三角形面積公式，注意內(nèi)角的范圍，屬于中檔題．