Question

14．已知函數(shù)$f（x）=2sin（x+\frac{π}{4}）$
（1）用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)$f（x）=2sin（x+\frac{π}{4}）$的簡(jiǎn)圖；
（2）求出函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)的x的值；
（3）求出函數(shù)在[0，2π]上的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由x∈[0，2π]，求出x+$\frac{π}{4}$的取值范圍[$\frac{π}{4}$，$\frac{9π}{4}$]，將x+$\frac{π}{4}$看作一個(gè)整體，取關(guān)鍵點(diǎn)和端點(diǎn)，從而可用五點(diǎn)法作出x∈[0，2π]的圖象．
（2）利用函數(shù)的圖象性質(zhì)即可得解．
（3）由函數(shù)的圖象即可求出函數(shù)在[0，2π]上的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）列表如下：

x	0	$\frac{π}{4}$	$\frac{3π}{4}$	$\frac{5π}{4}$	$\frac{7π}{4}$	2π
x+$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π	$\frac{9π}{4}$
2sin（x+$\frac{π}{4}$）	$\sqrt{2}$	2	0	-2	0	$\sqrt{2}$

描點(diǎn)、連線，得圖．如圖（1）

       圖1
（2）由圖可知：當(dāng)x=$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z時(shí)，函數(shù)的最大值為2．
（3）由圖可知：函數(shù)在[0，2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，$\frac{π}{4}$]∪[$\frac{5π}{4}$，2π]，
函數(shù)在[0，2π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)作圖，要注意自變量的取值范圍以及關(guān)鍵點(diǎn)和端點(diǎn)，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．