Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知任意角θ以x軸為始邊，若終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x₀，y₀）且|OP|=r（r＞0）．定義：sicosθ=

y0-x0

r

，稱(chēng)“sicosθ”為“正余弦函數(shù)”．對(duì)于正余弦函數(shù)y=sicosx，有同學(xué)得到以下結(jié)論：
①該函數(shù)的值域?yàn)閇-

2

，

2

]；
②該函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
③該函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)x=

3π

4

對(duì)稱(chēng)；
④該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

]，（k∈z）．
則這些結(jié)論中正確的序號(hào)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

專(zhuān)題：推理和證明

分析：根據(jù)“正余弦函數(shù)”的定義得到函數(shù)sicosθ=

2

sin（x-

π

4

），然后根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．

解答： 解：①由三角函數(shù)的定義可知x₀=rcosx，y₀=rsinx，
∴sicosθ=

y0-x0

r

=

rsinx-rcosx

r

=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

）∈[-

2

，

2

]，
∴函數(shù)的值域?yàn)閇-

2

，

2

]，∴①正確．
②∵y=f（x）=sicosθ=

2

sin（x-

π

4

），
∴f（0）=

2

sin

π

4

=1≠0，∴函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)錯(cuò)誤，∴②錯(cuò)誤．
③當(dāng)x=

3π

4

時(shí)，f（

3π

4

）=

2

，∴圖象關(guān)于直線(xiàn)x=

3π

4

對(duì)稱(chēng)，∴③正確．
④∵y=f（x）=sicosθ=

2

sin（x-

π

4

），
∴由2kπ-

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，
得2kπ-

π

4

≤x≤2kπ+

3π

4

，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

]，k∈Z
∴④正確，
故正確的是①③④，
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的定義求出函數(shù)y=sicosθ的表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．