Question

已知函數(shù)f（x）=

x(1+alnx)

x-1

（x＞1）．
（1）若g（x）=（x-l）²f′（x）在（1，+∞）是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當a=1時，若f（x）＞n恒成立，求滿足條件的正整數(shù)n的最大值；
（3）求證：（1+1×3）×（1+3×5）×…×[1+（2n-l）（2n+l）]＞e 2n-

3

2

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用g（x）=（x-l）²f′（x）在（1，+∞）是增函數(shù)，g′（x）=

a(x-1)

x

≥0，盡快求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)g（b）=0，則b∈（3，4），再確定x=b時，f（x）_min=f（b）=

b(1+lnb)

b-1

，即可求滿足條件的正整數(shù)n的最大值；
（3）先證明ln[1+（2n-1）（2n+1）]＞2-

3

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），n取1，2，…，n再相加可得結(jié)論．

解答： （1）解：f′（x）=

ax-alnx-a-1

(x-1)2

，
∴g（x）=ax-alnx-a-1，
由g′（x）=

a(x-1)

x

≥0，得a≥0，又a=0時，g（x）=-1，函數(shù)不具有單調(diào)性，
∴a＞0；
（2）解：a=1時，g（x）=x-lnx-2，g（3）=3-ln3-2＜0，g（4）=4-ln4-2＞0，
設(shè)g（b）=0，則b∈（3，4），
∴x∈（1，b）時，g（x）＜0，x∈（b，+∞）時，g（x）＞0，
∴x∈（1，b）時，f′（x）＜0，x∈（b，+∞）時，f′（x）＞0，
∴x=b時，f（x）_min=f（b）=

b(1+lnb)

b-1

，
∵g（b）=0，
∴b=lnb-2=0，即lnb=b-2，
∴f（b）=b∈（3，4），
∴n≤3，
∴滿足條件的正整數(shù)n的最大值為3；
（3）證明：由（2）知a=1時，f（x）＞3恒成立，即

x(1+lnx)

x-1

＞3，
∴l(xiāng)nx＞2-

3

x

（x＞1），
令x=1+（2n-1）（2n+1），則
ln[1+（2n-1）（2n+1）]＞2-

3

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
n取1，2，…，n再相加可得：ln{（1+1×3）×（1+3×5）×…×[1+（2n-l）（2n+l）]}＞2n-

3

2

，
∴（1+1×3）×（1+3×5）×…×[1+（2n-l）（2n+l）]＞e 2n-

3

2

．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．