Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+ax
（1）當-e＜a≤0時，證明：對于任意x∈R，f（x）＞0成立；
（2）當a=-1時，是否存在x₀∈（0，+∞），使曲線C：g（x）=e^xlnx-f（x）在點x=x₀處的切線斜率與f（x）在R上的最小值相等？若存在，求符合條件的x₀的個數(shù)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）當a=0時，f（x）=e^x＞0成立；當-e＜a＜0時，f′（x）=e^x+a＞0時，利用導數(shù)性質(zhì)得f[ln（-a）]＞0成立．由此能證明當-e＜a≤0時，對于任意x∈R，f（x）＞0成立．
（2）f（x）=e^x-x，f′（x）=e^x-1，從而f（x）在x=0處取得最小值f（0）=1，g（x）=e^xlnx-e^x+x，構造函數(shù)令h（x）=

1

x

+1=1，利用導數(shù)性質(zhì)求出只有一個解x₀=1．

解答： （1）證明：當a=0時，f（x）=e^x＞0成立；
當-e＜a＜0時，f′（x）=e^x+a＞0時，
x＞ln（-a）=-a+aln（-a）=-a[1-ln（-a）]，
∵-a＞0，0＜ln（-a）＜1，
∴f[ln（-a）]＞0成立．
綜上，當-e＜a≤0時，對于任意x∈R，f（x）＞0成立．
（2）解：f（x）=e^x-x，則f′（x）=e^x-1，
∴f（x）在x=0處取得最小值f（0）=1，
g（x）=e^xlnx-e^x+x，k=g′(x)=exlnx+

ex

x

-ex+1=1，
∴l(xiāng)nx+

1

x

-1=0，
令h（x）=

1

x

+1=1，h′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
∴h（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
∵h（1）=0，∴只有一個解x₀=1．

點評：本題考查不等式的證明，考查滿足條件的解的判斷與求法，解題時要注意構造法和導數(shù)性質(zhì)的合理運用．