Question

若一個正三棱柱存在外接球與內切球，則它的外接球與內切球表面積之比為（　�。�

• A、2：1
• B、3：1
• C、4：1
• D、5：1

Answer 1

分析：設正三棱柱底面正三角形的邊長為a，當球內切于正三棱柱時，球的半徑R₁等于正三棱柱的底面正三角形的邊心距，求出正三棱柱的高為2R₁，當球外接正三棱柱時，球心是正三棱柱上下底面中心連線段的中點，且球心與正三棱柱兩個底面正三角形構成兩個正三棱錐，求出外接球的半徑，即可求出內切球與外接球表面積之比．

解答：解：設正三棱柱底面正三角形的邊長為a，
當球內切于正三棱柱時，球的半徑R₁等于正三棱柱的底面正三角形的邊心距

3

6

a，故正三棱柱的高為2×

3

6

a=

3

3

a，
當球外接正三棱柱時，球心是上下底面中心連線段的中點，且球心與正三棱柱兩個底面正三角形構成兩個正三棱錐，R22=(

3

6

a)2+(

3

3

a)2，
∴R₂=

15

6

a
∴外接球與內切球半徑之比為R₁：R₂=

15

6

a：

3

6

a=

5

：1．
∴外接球與內切球表面積之比為5：1
故選D．

點評：本題是基礎題，考查空間想象能力，分析問題解決問題的能力，是�？碱}型，求內切球與外接球的半徑是解決本題的關鍵所在．