Question

14．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．半圓C（圓心為點(diǎn)C）的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）．
（Ⅰ）求半圓C的參數(shù)方程；
（Ⅱ）直線l與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A，B，其中A（0，-2），點(diǎn)D在半圓C上，且直線CD的傾斜角是直線l傾斜角的2倍，若△ABD的面積為4，求點(diǎn)D的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，代入半圓的極坐標(biāo)方程，再由同角的平方關(guān)系，可得參數(shù)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的傾斜角為α，可得直線l的方程為y=xtanα-2，D（cos2α，1+sin2α），2α∈（0，π）．求得|AB|，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式可得D到AB的距離，再由三角形的面積公式，由三角函數(shù)的恒等變換，即可得到所求點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
可得半圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2y，
即x²+（y-1）²=1（y＞1），
它的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=cosφ\(chéng)\ y=1+sinφ\(chéng)end{array}$，φ為參數(shù)且φ∈（0，π）；
（Ⅱ）設(shè)直線l的傾斜角為α，
則直線l的方程為y=xtanα-2，
D（cos2α，1+sin2α），2α∈（0，π）．
|AB|=$\sqrt{4+\frac{4}{ta{n}^{2}α}}$=$\frac{2}{sinα}$，
點(diǎn)D到直線l的距離為d=$\frac{|cos2αtanα-2-1-sin2α|}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$
=$\frac{|cos2αsinα-3cosα-sin2αcosα|}{\sqrt{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α}}$=|-3cosα-sinα|=3cosα+sinα，
由△ABD的面積為4，得4=$\frac{1}{2}$d|AB|=$\frac{3cosα+sinα}{sinα}$=1+3cotα，
可得tanα=1，得α=$\frac{π}{4}$，
故點(diǎn)D為（0，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的互化，考查圓的參數(shù)方程的運(yùn)用，直線方程的運(yùn)用，點(diǎn)到直線的距離公式，同時(shí)考查三角函數(shù)的恒等變換的運(yùn)用，屬于中檔題．