Question

4．設Rt△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=$\sqrt{3}$，D是線段AC（除端點A、C）上一點，將△ABD沿BD翻折至平面A′BD，使平面A′BD⊥平面ABC，當A′在平面ABC的射影H到平面ABA′的距離最大時，AD的長度為（　�。�

• A． $\root{4}{2}$
• B． $\root{3}{2}$
• C． $\root{4}{3}$
• D． $\root{3}{3}$

Answer 1

分析 如圖所示，連接A′A．設AD=x，$（0＜x＜\sqrt{3}）$．點H到平面A′AB的距離為h．由于${V}_{{A}^{′}-ABH}$=${V}_{H-{A}^{′}AB}$，可得$\frac{1}{3}×{A}^{′}H$•S_△ABH=$\frac{1}{3}$h$•{S}_{△{A}^{′}AB}$，又A′H=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=AH，S_△ABH=$\frac{1}{2}AH•BH$，BH=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$．A′A=$\sqrt{2}AH$，${S}_{△AB{A}^{′}}$=$\frac{1}{2}{A}^{′}A$•$\sqrt{1-\frac{1}{4}（{A}^{′}A）^{2}}$，代入化簡利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：如圖所示，連接A′A．
設AD=x，$（0＜x＜\sqrt{3}）$．點H到平面A′AB的距離為h．
∵${V}_{{A}^{′}-ABH}$=${V}_{H-{A}^{′}AB}$，
$\frac{1}{3}×{A}^{′}H$•S_△ABH=$\frac{1}{3}$h$•{S}_{△{A}^{′}AB}$，
又A′H=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=AH，S_△ABH=$\frac{1}{2}AH•BH$，BH=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$．
A′A=$\sqrt{2}AH$，${S}_{△AB{A}^{′}}$=$\frac{1}{2}{A}^{′}A$•$\sqrt{1-\frac{1}{4}（{A}^{′}A）^{2}}$，
h=$\frac{{A}^{′}H•BH}{\sqrt{2}×\sqrt{1-\frac{1}{2}A{H}^{2}}}$=$\frac{\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}×\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}}{\sqrt{2-\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}}}$=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{4}+3{x}^{2}+2}}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+\frac{2}{{x}^{2}}+3}}$≤$\frac{1}{\sqrt{2\sqrt{2}+3}}$，當且僅當x=$\root{4}{2}$時取等號．
∴當A′在平面ABC的射影H到平面ABA′的距離最大時，AD的長度為$\root{4}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查了空間線面位置關系、三棱錐體積計算公式、勾股定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．