Question

（2012•洛陽(yáng)模擬）(2x+

1

3 x

)n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為729，則該展開(kāi)式中x²的系數(shù)為

160

．

Answer 1

分析：由(2x+

1

3 x

)n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為729，知3ⁿ=729，解得n=6．再由（2x+

1

3 x

）⁶的通項(xiàng)公式為T_r+1=

C

r 6

(2x)6-r(

1

3 x

)r=26-r

C

r 6

x6-

4

3

r，能求出該展開(kāi)式中x²的系數(shù)．

解答：解：∵(2x+

1

3 x

)n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為729，
令x=1，得3ⁿ=729，解得n=6．
∵（2x+

1

3 x

）⁶的通項(xiàng)公式為T_r+1=

C

r 6

(2x)6-r(

1

3 x

)r=26-r

C

r 6

x6-

4

3

r，
由6-

4

3

r=2，得r=3．
∴該展開(kāi)式中x²的系數(shù)為26-3

C

3 6

=8×

6×5×4

3×2×1

=160．
故答案為：160．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．