Question

已知三棱錐P-ABC的底面ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，PA⊥平面ABC，PA=AC=BC=1，D是線段PC的中點(diǎn)，如圖所示．
（Ⅰ）證明：AD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求三棱錐P-ABD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）只要證明AD由于面PBC內(nèi)的PC，BC垂直即可；
（Ⅱ）利用∴D到面PAB的距離等于C到面PAB的距離的一半，將三棱錐P-ABD的體積利用三棱錐C-PAB的體積的一半表示．

解答： 證明：（Ⅰ）∵PA=AC，D是線段PC的中點(diǎn)，
∴AD⊥PC，
∵BC⊥AC，BC⊥PA，
∴BC⊥面PAC，
∴BC⊥AD，
∴AD⊥面PBC；
（Ⅱ）∵點(diǎn)D是PC的中點(diǎn)，
∴D到面PAB的距離等于C到面PAB的距離的一半，
∴VP-ABD=VD-PAB=

1

2

VC-PAB，
又VC-PAB=VP-ABC=

1

3

S△ABC×PA=

1

3

×

1

2

AC×BC=

1

2

PA×

1

3

=

1

6

，
∴VP-ABD=

1

12

．

點(diǎn)評：本題考查了線面垂直的判定 以及三棱錐體積的求法，注意將體積轉(zhuǎn)化，使計(jì)算簡便．