Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調性；

（2）當m=1時，若方程在區(qū)間上有唯一的實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）當m＞0時，若對于區(qū)間[1，2]上的任意兩個實數(shù)x1，x2，且x1＜x2，都有成立，求實數(shù)m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）求得函數(shù)定義域后對函數(shù)求導，對分成兩類，討論函數(shù)的單調區(qū)間.（2）化簡，分離出常數(shù).利用導數(shù)求得函數(shù)的單調區(qū)間，由此求得的取值范圍.（3）由（1）知函數(shù)在上遞增.由此去掉絕對值化簡題目所給不等式，構造函數(shù)，利用在上遞減，導數(shù)小于零，分離出常數(shù)，再利用導數(shù)求得的最大值.

（1）f（x）的定義域是（0，+∞）， f′（x）=x+m+=，

m≥0時，f′（x）＞0， 故m≥0時，f（x）在（0，+∞）遞增；

m＜0時，方程x2+mx+m=0的判別式為： △=m2-4m＞0，

令f′（x）＞0，解得：x＞，

令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，

故m＜0時，f（x）在（，+∞）遞增，在（0，）遞減；

（2）m=1時，由題意得： x2+x+lnx=x2+ax， 整理得：a=1+，

令g（x）=1+，g′（x）=，

令g′（x）＞0，解得：x∈（0，e），函數(shù)g（x）在（0，e）遞增，

令g′（x）＜0，解得：x∈（e，+∞），函數(shù)g（x）在（e，+∞）遞減；

若方程f（x）=x2+ax在[e，+∞）上有唯一實數(shù)根，

須求g（x）在[e，+∞）上的取值范圍，

g（x）≤g（e）=1+，又g（x）=1+＞1，（x＞e）， ∴a的范圍是g（）≤a≤1，

即1-e≤a≤1；

（3）由（1）知，當m＞0時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）遞增，

又[1，2]（0，+∞），故f（x）在[1，2]遞增；

對任意x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）， 故f（x2）-f（x1）＞0，

由題意得：f（x2）-f（x1）＜-， 整理得：f（x2）-＜f（x1）-，

令F（x）=f（x）-x2=-x2+mx+mlnx， 則F（x）在[1，2]遞減， 故F′（x）=，

當x∈[1，2]時，-x2+mx+m≤0恒成立，即m≤，

令h（x）=，則h′（x）=＞0， 故h（x）在[1，2]遞增，

故h（x）∈[，］， 故m≤．

實數(shù)的最大值為.