Question

9．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C：ρ²-4ρcosθ+1=0，直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tsinα}\\{y=tcosα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，0≤α＜π）．
（1）求曲線C的參數(shù)方程；
（2）若直線l與曲線C相切，求直線l的傾斜角及切點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由曲線C的極坐標(biāo)方程，求出曲線C的直角坐標(biāo)方程，得到曲線C是以C（2，0）為圓心，以r=$\sqrt{3}$為半徑的圓，由此能求出曲線C的參數(shù)方程．
（2）直線l消去參數(shù)t，得直線l的直角坐標(biāo)方程為：cosαx-sinαy-4cosα=0．由直線l與曲線C相切，知圓心C（2，0）到直線l的距離d等于圓半徑r，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵曲線C：ρ²-4ρcosθ+1=0，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-4x+1=0，即（x-2）²+y²=3，
∴曲線C是以C（2，0）為圓心，以r=$\sqrt{3}$為半徑的圓，
∴曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.，（0≤θ＜2π）$．
（2）∵直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tsinα}\\{y=tcosα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，0≤α＜π）．
∴消去參數(shù)t，得直線l的直角坐標(biāo)方程為：cosαx-sinαy-4cosα=0．
∵直線l與曲線C相切，∴圓心C（2，0）到直線l的距離d等于圓半徑r，
即d=$\frac{|2cosα-4cosα|}{\sqrt{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α}}$=2cosα=$\sqrt{3}$，∴cos$α=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0≤α＜π，∴直線l的傾斜角α=$\frac{π}{6}$，
∴直線l的方程為$\sqrt{3}$x-y-4$\sqrt{3}$=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+{y}^{2}=3}\\{\sqrt{3}x-y-4\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，得x=$\frac{7}{2}$，y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴切點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{7}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的參數(shù)方程的求法，考查直線的傾斜角和切點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程互化公式的合理運(yùn)用．