Question

14．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足|$\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，且（$\overrightarrow a+3\overrightarrow b}）⊥（{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），則$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角為（　　）

• A． $\frac{2π}{3}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 根據(jù)$（\overrightarrow{a}+3\overrightarrow）⊥（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$即可得出$（\overrightarrow{a}+3\overrightarrow）•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）=0$，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的值，進(jìn)而求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$的值，從而得出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角．

解答 解：∵$（\overrightarrow{a}+3\overrightarrow）⊥（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$；
∴$（\overrightarrow{a}+3\overrightarrow）•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$=$2{\overrightarrow{a}}^{2}+5\overrightarrow{a}•\overrightarrow-3{\overrightarrow}^{2}$=$8+5\overrightarrow{a}•\overrightarrow-3=0$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-1$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=-\frac{1}{2}$；
∵兩向量夾角的取值范圍為[0，π]．
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$．
故選A．

點(diǎn)評 考查向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，以及向量夾角的余弦公式，向量夾角的范圍．