Question

4．函數(shù)$f（x）=2sin（{ωx+φ}）（{0＜ω＜12，|φ|＜\frac{π}{2}}）$，若$f（0）=-\sqrt{3}$，且函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線$x=-\frac{π}{12}$對稱，則以下結(jié)論正確的是（　　）

• A． 函數(shù)f（x）的最小正周期為$\frac{π}{3}$
• B． 函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點$（{\frac{7π}{9}，0}）$對稱
• C． 函數(shù)f（x）在區(qū)間$（{\frac{π}{4}，\frac{11π}{24}}）$上是增函數(shù)
• D． 由y=2cos2x的圖象向右平移$\frac{5π}{12}$個單位長度可以得到函數(shù)f（x）的圖象

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)$f（0）=-\sqrt{3}$，求出φ，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線$x=-\frac{π}{12}$對稱，可得ω的值，求出了f（x）的解析式，依次對各選擇判斷即可．

解答 解：函數(shù)$f（x）=2sin（{ωx+φ}）（{0＜ω＜12，|φ|＜\frac{π}{2}}）$，
∵$f（0）=-\sqrt{3}$，即2sinφ=$-\sqrt{3}$，
∵$-\frac{π}{2}＜$φ$＜\frac{π}{2}$
∴φ=$-\frac{π}{3}$
又∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線$x=-\frac{π}{12}$對稱，
∴$-ω×\frac{π}{12}-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z．
可得ω=12k-10，
∵0＜ω＜12．
∴ω=2．
∴f（x）的解析式為：f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，∴A不對．
當(dāng)x=$\frac{7π}{9}$時，可得y≠0，∴B不對．
令-$\frac{π}{2}≤$2x-$\frac{π}{3}$$≤\frac{π}{2}$，可得$-\frac{π}{12}≤x≤\frac{5π}{12}$，∴C不對．
函數(shù)y=2cos2x的圖象向右平移$\frac{5π}{12}$個單位，可得2cos2（x-$\frac{5π}{12}$）=2cos（2x-$\frac{5π}{6}$）=2sin（2x-$\frac{5π}{6}+\frac{π}{2}$）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．∴D項正確．
故選D

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，確定f（x）的解析式是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．