Question

19．函數(shù)$f（x）={e^2}x+\frac{1}{x}，g（x）=\frac{ex}{{{e^{x-1}}}}$，對任意x₁，x₂∈（0，+∞），不等式（k+1）g（x₁）≤kf（x₂）（k＞0）恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． [1，+∞）
• B． （2，+∞]
• C． （0，2）
• D． （0，1]

Answer 1

分析 利用基本不等式可求f（x）的最小值，對函數(shù)g（x）求導，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而可求g（x）的最大值，f（x）的最小值，得到關于k的不等式，解出即可．

解答 解：∵當x＞0時，f（x）=e²x+$\frac{1}{x}$≥2 $\sqrt{{e}^{2}x•\frac{1}{x}}$=2e，
∴x₁∈（0，+∞）時，函數(shù)f（x₂）有最小值2e，
∵g（x）=$\frac{ex}{{e}^{x-1}}$，∴g′（x）=$\frac{{e}^{2}（1-x）}{{e}^{x}}$，
當x＜1時，g′（x）＞0，則函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
當x＞1時，g′（x）＜0，則函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴x=1時，函數(shù)g（x）有最大值g（1）=e，
則有x₁、x₂∈（0，+∞），f（x₂）_min=2e＞g（x₁）_max=e
∵（k+1）g（x₁）≤kf（x₂）（k＞0），
∴$\frac{g{（x}_{1}）}{k}$≤$\frac{f{（x}_{2}）}{k+1}$恒成立且k＞0，$\frac{e}{k}$≤$\frac{2e}{k+1}$，
∴k≥1
故選：A．

點評 本題主要考查了利用基本不等式求解函數(shù)的最值，導數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性，最值求解中的應用是解答本題的另一重要方法，函數(shù)的恒成立問題的轉(zhuǎn)化，本題具有一定的難度．