Question

【題目】已知橢圓的上頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為.直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、（、都在軸上方），且.

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線方程；

（3）對(duì)于動(dòng)直線，是否存在一個(gè)定點(diǎn)，無(wú)論如何變化，直線總經(jīng)過(guò)此定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）直線過(guò)定點(diǎn)，證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）設(shè)橢圓的方程為，根據(jù)題意可求得、的值，進(jìn)而可得橢圓的方程；

（2）求出直線的方程，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線的方程；

（3）由題意可知，直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由已知條件得知直線和的斜率之和為，代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)計(jì)算得出與所滿足的關(guān)系式，進(jìn)而得出直線所過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo).

（1）設(shè)橢圓的方程為，

該橢圓的上頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為，即，可得，，

因此，橢圓的方程為；

（2）由題意可得，，直線的斜率為，

，則直線的斜率為，

直線的方程為，

聯(lián)立，得，解得或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

直線的斜率為，因此，直線的方程為；

（3）由于直線與橢圓的兩交點(diǎn)、都在軸上方，則直線的斜率存在，

設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，

聯(lián)立，消去得，

，得，

由韋達(dá)定理得，，

，所以，直線和的斜率之和為，

即，

，

，則直線的方程為，直線過(guò)定點(diǎn).