【題目】已知橢圓的上頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為.直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、(、都在軸上方),且.
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線方程;
(3)對(duì)于動(dòng)直線,是否存在一個(gè)定點(diǎn),無論如何變化,直線總經(jīng)過此定點(diǎn)?若存在,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1);(2);(3)直線過定點(diǎn),證明見解析.
【解析】
(1)設(shè)橢圓的方程為,根據(jù)題意可求得、的值,進(jìn)而可得橢圓的方程;
(2)求出直線的方程,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,求得點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可求得直線的方程;
(3)由題意可知,直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為,設(shè)點(diǎn)、,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,由已知條件得知直線和的斜率之和為,代入韋達(dá)定理化簡計(jì)算得出與所滿足的關(guān)系式,進(jìn)而得出直線所過的定點(diǎn)坐標(biāo).
(1)設(shè)橢圓的方程為,
該橢圓的上頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為,即,可得,,
因此,橢圓的方程為;
(2)由題意可得,,直線的斜率為,
,則直線的斜率為,
直線的方程為,
聯(lián)立,得,解得或,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
直線的斜率為,因此,直線的方程為;
(3)由于直線與橢圓的兩交點(diǎn)、都在軸上方,則直線的斜率存在,
設(shè)直線的方程為,設(shè)點(diǎn)、,
聯(lián)立,消去得,
,得,
由韋達(dá)定理得,,
,所以,直線和的斜率之和為,
即,
,
,則直線的方程為,直線過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山,堅(jiān)持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心,已形成了全民自覺參與,造福百姓的良性循環(huán).據(jù)此,某網(wǎng)站推出了關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)進(jìn)展情況的調(diào)查,調(diào)查數(shù)據(jù)表明,環(huán)境治理和保護(hù)問題仍是百姓最為關(guān)心的熱點(diǎn),參與調(diào)查者中關(guān)注此問題的約占.現(xiàn)從參與關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人群中隨機(jī)選出200人,并將這200人按年齡分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求出的值;
(2)現(xiàn)在要從年齡較小的第1,2組中用分層抽樣的方法抽取5人,再從這5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查,求第2組恰好抽到2人的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在斜三棱柱中,平面平面,,,,均為正三角形,E為AB的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:平面;
(Ⅱ)求斜三棱柱截去三棱錐后剩余部分的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)當(dāng)時(shí),若存在,使,求實(shí)數(shù)的取值范圍.(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),其值為2.71828……)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,,是離心率為的橢圓的左、右焦點(diǎn),直線,將線段,分成兩段,其長度之比為,設(shè)是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段的中垂線與橢圓交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)在直線上.
(1)求橢圓的方程;
(2)求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公園準(zhǔn)備在一圓形水池里設(shè)置兩個(gè)觀景噴泉,觀景噴泉的示意圖如圖所示,兩點(diǎn)為噴泉,圓心為的中點(diǎn),其中米,半徑米,市民可位于水池邊緣任意一點(diǎn)處觀賞.
(1)若當(dāng)時(shí),,求此時(shí)的值;
(2)設(shè),且.
(i)試將表示為的函數(shù),并求出的取值范圍;
(ii)若同時(shí)要求市民在水池邊緣任意一點(diǎn)處觀賞噴泉時(shí),觀賞角度的最大值不小于,試求兩處噴泉間距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有一張半徑為的圓形鐵皮,從中裁剪出一塊扇形鐵皮(如圖陰影部分),并卷成一個(gè)深度為的圓錐筒,如圖.
(1)若所裁剪的扇形鐵皮的圓心角為,求圓錐筒的容積;
(2)當(dāng)為多少時(shí),圓錐筒的容積最大?并求出容積的最大值.
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