Question

【題目】如圖，，是離心率為的橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線，將線段，分成兩段，其長度之比為，設(shè)是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段的中垂線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在直線上.

（1）求橢圓的方程；

（2）求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2)

【解析】

（1）設(shè)，由線段長度之比可列出等式求出c，代入離心率公式求得a，再求出b，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為，求出P、Q坐標(biāo)直接求；當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理求出、，可求得的關(guān)于m的表達(dá)式，根據(jù)題意求出m的范圍即可求得的范圍.

（1）設(shè)，因?yàn)橹本�，將線段，分成兩段，其長度之比為，

所以，解得，

又離心率，所以，則，

所以橢圓C的方程為：；

（2）①當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為，此時(shí)PQ與x軸重合，

，因?yàn)?/span>，，

所以；

②當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的斜率為k，，，

因?yàn)?/span>M是線段AB的中點(diǎn)，所以，，

由，整理得，

則，所以，此時(shí)直線PQ的斜率為，直線PQ的方程為：即，

設(shè)，

聯(lián)立，消去y，可得，

則，

，

直線與橢圓的交點(diǎn)為，

因?yàn)榫�段的中點(diǎn)在直線上，所以，則，

，即.