Question

3．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，過焦點(diǎn)垂直長軸的弦長為3．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓的右頂點(diǎn)作直線交拋物線y²=2x于A、B兩點(diǎn)，求證：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分析可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\ \frac{{2{b^2}}}{a}=3\end{array}\right.$，解可得a、c的值，由橢圓的定義可得b的值，將a、b的值代入橢圓方程即可得答案；
（2）設(shè)過橢圓的右頂點(diǎn)（2，0）的直線AB的方程為x=my+2，與拋物線方程聯(lián)立，設(shè)出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，由根與系數(shù)的關(guān)系的關(guān)系分析計(jì)算x₁x₂+y₁y₂的值，由向量數(shù)量積的性質(zhì)可得證明．

解答 解：（1）橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，過焦點(diǎn)垂直長軸的弦長為3，
則有$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\ \frac{{2{b^2}}}{a}=3\end{array}\right.$，
解可得a=2，c=1，則b²=a²-c²=3．
所以，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）證明：設(shè)過橢圓的右頂點(diǎn)（2，0）的直線AB的方程為x=my+2．
代入拋物線方程y²=2x，得y²-2my-4=0．
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=2m\\{y_1}{y_2}=-4.\end{array}\right.$，
∴x₁x₂+y₁y₂=（my₁+2）（my₂+2）+y₁y₂=（1+m²）y₁y₂+2m（y₁+y₂）+4=0．
∴OA⊥OB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓、拋物線的幾何性質(zhì)，涉及直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系，注意分析直線時(shí)需要討論直線的斜率是存在．