Question

20．已知$cos（{α+\frac{2π}{3}}）=\frac{4}{5}，-\frac{π}{2}＜α＜0$，則$sin（{α+\frac{π}{3}}）+sinα$=$-\frac{4\sqrt{3}}{5}$．

Answer 1

分析 利用兩角和的余弦函數(shù)公式整理已知等式，然后再利用兩角和的正弦函數(shù)公式計(jì)算得答案．

解答 解：∵$cos（{α+\frac{2π}{3}}）=\frac{4}{5}，-\frac{π}{2}＜α＜0$，
∴$cosαcos\frac{2π}{3}-sinαsin\frac{2π}{3}=\frac{4}{5}$，即$\frac{1}{2}cosα+\frac{\sqrt{3}}{2}sinα=-\frac{4}{5}$，
∴$sin（{α+\frac{π}{3}}）+sinα$=$sinαcos\frac{π}{3}+cosαsin\frac{π}{3}+sinα$
=$\frac{1}{2}sinα+\frac{\sqrt{3}}{2}cosα+sinα$=$\sqrt{3}（\frac{\sqrt{3}}{2}sinα+\frac{1}{2}cosα）=-\frac{4\sqrt{3}}{5}$．
故答案為：$-\frac{4\sqrt{3}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．