Question

已知函數(shù)f（x）=

1

4

x4-

1

2

ax3+4x-3（a＞0）．
（Ⅰ）若f（x）在x=1處切線與直線x+2y-3=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在[0，+∞）為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線與直線x+2y-3=0垂直，建立條件關(guān)系即可求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得f′(x)=x3-

3

2

ax2+4，直線x+2y-3=0的斜率為-

1

2

，所以切線斜率為2．
故 f′(1)=1-

3

2

a+4=2，所以a=2
（Ⅱ）由f'（x）≥0在[0，+∞）恒成立，
即  f'（x）_min≥0，x∈[0，+∞）
設(shè) g(x)=f′(x)=x3-

3

2

ax2+4(a＞0)，
則 g′（x）=3x²-3ax
令  g′（x）=0，得x=0，x=a．
當(dāng)0＜x＜a時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x＞a時g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
所以x=a是g（x）的最小值點(diǎn)．
故f'（x）_min=g（a）≥0，
故  a3-

3

2

a3+4≥0，
所以0＜a≤2．

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．