Question

13．直線y=kx+$\sqrt{2}$與橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1交于不同兩點A，B，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1（其中0為坐標原點），則k=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 聯(lián)立直線和橢圓方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系即可求出k的取值范圍．

解答 解：由將y=kx+$\sqrt{2}$，代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，
消去y得（1+3k²）x²+6$\sqrt{2}$kx+3=0．
由直線l與橢圓交于不同的兩點得，
（6$\sqrt{2}$k）²-12（1+3k²）＞0，
解得k²＞$\frac{1}{3}$，
設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
則x_A+x_B=-$\frac{6\sqrt{2}k}{1+3{k}^{2}}$，x_Ax_B=$\frac{3}{1+3{k}^{2}}$．
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1，得x_Ax_B+y_Ay_B=1，
即x_Ax_B+y_Ay_B=x_Ax_B+（kx_A+$\sqrt{2}$）（kx_B+$\sqrt{2}$）
=（k²+1）x_Ax_B+$\sqrt{2}$k（x_A+x_B）+2
=（k²+1）•$\frac{3}{1+3{k}^{2}}$+$\sqrt{2}$k（-$\frac{6\sqrt{2}k}{1+3{k}^{2}}$）+2=$\frac{3-9{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$+2=1，
解得k=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：±$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，利用直線和橢圓聯(lián)立轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．