Question

2．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，點(diǎn)P（x，y）是橢圓上一點(diǎn)．
（1）求x²+y²的最值
（2）若四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為5，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4，求四邊形面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用參數(shù)法，求x²+y²的最值；
（2）橢圓的內(nèi)接四邊形ABCD面積取最大值時(shí)，對(duì)角線BD過(guò)AC的中點(diǎn)M和原點(diǎn)O；
求出B、D點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出點(diǎn)B、D到AC的距離，即可求出四邊形ABCD的最大面積．

解答 解：（1）設(shè)x=5cosα，y=4sinα，
∴x²+y²=25cos²α+16sin²α=9cos²α+16，
∴x²+y²的最大值為25；最小值為16；
（2）∵橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
∴A（5，0），C（0，4）；
由題意知，橢圓的內(nèi)接四邊形ABCD面積取最大值時(shí)，對(duì)角線BD過(guò)AC的中點(diǎn)M和原點(diǎn)O；
∵直線AC的方程是$\frac{x}{5}+\frac{y}{4}$=1，點(diǎn)M（2.5，2），
∴直線BD的方程是y=$\frac{4}{5}$x；
代入橢圓方程，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5\sqrt{2}}{2}}\\{y=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{5\sqrt{2}}{2}}\\{y=-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$；
∴點(diǎn)B（$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，2$\sqrt{2}$）到直線AC的距離是d₁=$\frac{|\frac{1}{5}×\frac{5\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{4}×2\sqrt{2}-1|}{\sqrt{\frac{1}{25}+\frac{1}{16}}}$=$\frac{20（\sqrt{2}-1）}{\sqrt{41}}$；
同理，點(diǎn)D（-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，-2$\sqrt{2}$）到直線AC的距離是d₂=$\frac{20（\sqrt{2}+1）}{\sqrt{41}}$；
∴四邊形ABCD的最大面積為
S=S_△ABC+S_△ADC
=$\frac{1}{2}$×|AC|d₁+$\frac{1}{2}$×|AC|d₂
=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{4}^{2}+{5}^{2}}$×（$\frac{20（\sqrt{2}-1）}{\sqrt{41}}$+$\frac{20（\sqrt{2}+1）}{\sqrt{41}}$）
=20$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓錐曲線的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)利用數(shù)形結(jié)合法，分析解題思路，從而寫出解題過(guò)程，是綜合性題目．