Question

已知橢圓C中心在原點O，對稱軸為坐標軸，焦點F₁，F₂在x軸上，離心率e=

1

2

，且經過點A（1，

3

2

）．
（Ⅰ）橢圓C的標準方程．
（Ⅱ）已知P、Q是橢圓C上的兩點，若OP⊥OQ，求證：

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

為定值．
（Ⅲ）當

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

為（Ⅱ）所求定值時，試探究OP⊥OQ是否成立？并說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的簡單性質

專題：方程思想,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）設出橢圓C的標準方程，用待定系數法求出a²、b²的值即可；
（Ⅱ）求出OP與OQ的斜率都存在時，對應

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

的值是什么，再討論OP或OQ的斜率一個為0另一個不存在時，是否滿足條件即可；
（Ⅲ）

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

為定值時，OP⊥OQ不一定成立，討論直線OP或OQ的斜率一個為0另一個不存在時，以及直線OP或OQ的斜率都存在時，是否OP⊥OQ即可．

解答： 解：（Ⅰ）設橢圓C的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵離心率e=

c

a

=

1

2

，①
且橢圓C過點A（1，

3

2

），
∴

1

a2

+

9

4b2

=1，②
又c²=a²-b²，③
∴由①②③組成方程組，
解得a²=4，b²=3，
∴橢圓C的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1；

（Ⅱ）證明：當OP與OQ的斜率都存在時，
設直線OP的方程為y=kx（k≠0），則直線OQ的方程為y=-

1

k

x（k≠0），P（x，y）；
聯立方程組

y=kx x2 4 + y2 3 =1

，化為x²=

12

3+4k2

，
∴|OP|²=x²+y²=

12(1+k2)

3+4k2

，
同理可得|OQ|²=

12(1+k2)

3k2+4

，
∴

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

3+4k2

12(1+k2)

+

3k2+4

12(1+k2)

=

7

12

為定值；
當直線OP或OQ的斜率一個為0而另一個不存在時，上式也成立，
∴

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

7

12

為定值．

（Ⅲ）當

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

7

12

定值時，OP⊥OQ不一定成立，證明如下：
當直線OP或OQ的斜率一個為0而另一個不存在時，
則

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

1

a2

+

1

b2

=

1

4

+

1

3

=

7

12

，滿足條件；
當直線OP或OQ的斜率都存在時，
設直線OP的方程為y=kx（k≠0），則直線OQ的方程為y=k′x（k≠k′，k′≠0），P（x，y）；
聯立方程組

y=kx x2 4 + y2 3 =1

，化為x²=

12

3+4k2

，
∴|OP|²=x²+y²=

12(1+k2)

3+4k2

，
同理可得|OQ|²=

12(1+k′2)

3+4k′2

，
∴

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

3+4k2

12(1+k2)

+

3+4k′2

12(1+k′2)

=

7

12

；
化為（kk′）²=1，
∴kk′=±1；
∴OP⊥OQ或kk′=1，
因此OP⊥OQ不一定成立．

點評：本題考查了橢圓的幾何性質的應用問題，也考查了直線與橢圓方程的綜合應用問題，考查了直線的垂直應用問題，是綜合性題目．